El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.
Operaciones Basicas con Vectores.
Suma de Vectores
Los vectores libres se pueden sumar. Gráficamente la suma de vectores libres equivale a poner un vector a continuación del otro. El vector suma será el vector que va desde el origen del primer vector al extremo del último vector. Si nos dan las componentes de dos vectores, la suma de esos vectores será igual a la suma de las componentes.
Ejemplo: el vector libre a, que está en un plano, tiene componentes 3 y 4 (se representa así (3,4)) y el vector libre b tiene componentes (0,-2), la suma de a y b será (3,2).
y 
se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres
y se suma con el opuesto de .Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Multiplicación por un número real
Los vectores libres se pueden multiplicar por un número real n. El vector resultante será un vector de módulo n veces el original, de la misma dirección que el original y de sentido igual al original si n es positivo y de sentido contrario si n es negativo.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus módulos y el coseno del ángulo que forman a y b.
Otra forma de calcular el producto escalar de dos vectores es multiplicar entre si las coordenadas respectivas y sumarlas.
El producto escalar de dos vectores es un número (esto que parece una tontería es muy importante, porque quiere decir que no es un vector)
El producto escalar tiene las propiedades siguientes:
Conmutativa: a.b = b.a
Distributiva respecto a la suma: a.(b+c) = a.b +a.c
Ejemplo: Sean los vectores (1,1,1), (0,2,-1).
El producto escalar (1,1,1).(0,2,-1) es 1.0 + 1.2 + 1.-1 = 1.
Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus módulos y el seno del ángulo que forman a y b.
El producto vectorial de dos vectores es otro vector, perpendicular al plano formado por los vectores a y b.
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